山东省烟台市2006年5月高三适应性练习（一）
数学（理科）
本试题分第I卷和第II卷两部分，考试时间120分钟，满分150分。
第I卷
［参考公式］
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
正棱锥、圆锥的侧面积公式
其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长；
球的体积公式
，球的面积公式
；其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题意的。
1. 若复数z满足
＝
，则z的实部为
A. 4 B. －1 C. 2 D. －2
2. 在数列
中，
，则
A. 4 B. 2 C. 0 D. 1
3. 已知平面
，异于直线l的直线
，异于直线l的直线
，且
，命题P：a⊥l；命题Q：a⊥b。则P是Q的（
）条件。
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
4. 点O在△ABC内部且满足
，则△ABC的面积与△OBC面积之比为
A. 
B. 3 C. 4 D. 5
5. 已知直线
与圆
交于A、B两点，且
，其中O为原点，则实数a的值为
A. 2 B. －2 C. 2或－2 D. 
或
6. 已知函数
的导函数
的最大值为3，则
相邻两条对称轴之间的距离是
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 设函数
，若
，则
A. 2500 B. 50 C. 100 D. 2
8. 由长度均为a的12条线段构成一个正方体框架，在其内部放置一气球，对气球充气，使其膨胀为一个尽可能大的球，则此球表面积的最大值为
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 从集合{1，2，3，……，9}中，随机抽取三个不同的元素，则这三个元素之和为偶数的概率是
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 使关于x的不等式
有解的实数k的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 函数
（
）的图象如图所示，且
，则有
A. 
B. 
C. 
D. 
12. 点P到点A（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于
，这样的点P一共有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
13. 若
，
＝___________。
14. 设为等差数列，且
，则
＝___________。
15. 下图中阴影部分的点满足不等式组
，这些点中使目标函数
取得最大值的点的坐标是___________。
16. 定义一种新运算“
”如下：当
时，
；当
时，
。对于函数
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法运算）。把图象按向量a平移后得
的图象，若为奇函数，则a＝___________。
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤。
17. （本小题满分12分）
已知向量
。
（1）当
时，恒有a⊥b成立，求角
的值；
（2）若
的最大值为0，且
，求
的值。
18. （本题满分12分）
在一次数学小测验中，设有两道选择题和两道解答题。答对一道选择题得10分，答对一道解答题得20分，答错得0分。学生甲答对选择题和解答题的概率分别为0.8和0.5。求学生甲得分值
的概率分布列和数学期望。
19. （本小题满分12分）
已知正三棱柱ABC－A1B1C1各条棱长都为a，P为A1B上的点。
（1）试确定
的值，使PC⊥AB；
（2）若
，求二面角P－AC－B的大小；
（3）在（2）的条件下，求C1到平面PAC的距离。
20. （本小题满分12分）
在数列{
}、{bn}中，
，对任意
，点（
）、（
）分别在函数
和
图象上。（其中k、c、a、b为常数，且
）。
（1）请分别求出、
的通项公式；
（2）当
时，试比较与
的大小。
21. （本小题满分12分）
设椭圆
的右焦点为F，上顶点为A，过A点与AF垂直的直线分别交椭圆与x轴负半轴于M、N两点，且
。
（1）求椭圆的离心率；
（2）过A、N、F三点的圆恰好与直线l：
相切，求椭圆方程。
22. （本题满分14分）
设M是由满足下列条件的函数构成的集合：
①方程
有实数根；②函数的导函数满足
。
（1）判断函数
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下列性质：
若的定义域为I，则对于任意[m，n]
I都存在
，使得等式
成立。
请利用这一性质证明：方程有唯一的实数根；
（3）若存在实数x1，使得M中元素定义域中的任意实数a、b都有
和
成立，证明：
。
【试题答案】
烟台市2006年5月高三适应性练习（一）
数学（理）答案
一、1. B 2. A 3. A 4. D 5. C
6. C 7. C 8. B 9. B 10. A
11. A 12. C
二、13. 
14. 
15. (0，5) 16. （0，2）
三、解答题
17. （1）由题意，知
，∴
∴
5分
（2）
∵f(x)的最大值为0
而
7分
又
，从而在第三象限 9分
∴
∴
12分
18. 解：的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，其概率分别为
∴的分布列为
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
P |
0.01 |
0.08 |
0.18 |
0.16 |
0.33 |
0.08 |
0.16 |
8分
12分
19. 解：建立如图所示的坐标系，则
设P（x，0，z）
（1）由
， 得
∴P为A1B的中点
即
时，PC⊥AB 3分
（2）当时，
∴
，∴P
4分
设平面PAC的法向量
即
取
6分
平面ABC的法向量n＝（0，0，1） 7分
∴二面角P－AC－B的大小为60° 9分
（3）
∴C1到平面PAC的距离
12分
20. （1）由
因为点
在直线上（k≠0）
∴
为等差数列
∴
2分
∴由叠加得
（
） 4分
由
，
∵点
在曲线上
，
∴数列
为等比数列，
∴
6分
由叠加得
8分
（2）因为
，当时，
而
时，
∴
12分
21. 解：（1）设N
，由
∵
，∴
，
2分
设M
由得
∵M在椭圆上，∴
整理得
5分
即
，两边同除以
，得
即
，解得
（舍去）
∴椭圆的离心率为
7分
（2）由
得：
∴AFN外接圆圆心为
，半径为a 9分
∵圆与直线相切
解得 
∴
∴椭圆方程为
12分
22. （1）因为
∴
，满足条件 2分
又∵当x＝0时，
，
∴方程有实数根0
∴集合M中的元素。 4分
（2）假设方程存在两个实数根α、β（α≠β）
则
不妨设
，根据题意，存在实数
使得
成立 6分
又
，
，
∴这时
这与矛盾，∴方程只有一个实数根 8分
（3）不妨设
为增函数
又∵
为减函数
∴
11分
∴
，即
∴
∴结论成立 14分