河北省2006年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设U为全集，非空集合A、B满足，则下列集合中为空集的是

A. B. C. D.

2. 设，则复数的虚部为

A. 1 B. 2 C. －1 D. －2

3. 在等差数列中，，则＝

A. B. C. 99 D. 不能确定

4. 对函数，作的代换，总不改变函数的值域的代换是

A. B.

C. D.

5. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是

A. 若

B. 若

C. 若

D. 若

6. 曲线，在其上的一点P处的切线的斜率为。则该点P的坐标为

A. （1，0） B. （） C. （，2） D. （a，1）

7. 已知，则的值为

A. －1 B. C. －2 D. －3

8. 设两条直线的方程分别为，已知a、b是关于x的方程的两个实数根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为

A. B. C. D.

9. 已知动抛物线以y轴为准线，且恒过点（2，1），则此抛物线顶点的轨迹方程为

A.

B.

C.

D.

10. 设函数，则在区间上不是单调函数的充要条件是

A. B. C. D.

11. 非零向量，若点B关于所在直线的对称点B₁，则向量为

A. B. C. D.

12. 已知实系数方程的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则的取值范围是

A. （－2，－1） B. （）

C. （） D. （）

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13. 已知函数，则的反函数为_________。

14. 在二项式的展开式中，含项的系数记为，则的值为_________。

15. 重量为G牛的重物悬挂在杠杆上距支点A为m米处，杠杆质量分布均匀，单位长度上的重量为q牛，要使加在另一端用来保持在水平平衡且与杠杆垂直的力F最小，杠杆的长度应当是_________。

16. 对于函数，给出下列四个命题：

①该函数的图象关于对称；

②当且仅当时，该函数取得最大值1；

③该函数是以为最小正周期的周期函数；

④当且仅当时，。

上述命题中正确的命题的序号是__________________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

在△ABC中，

（I）求sinA的值；

（II）求BC的长。

18. （本小题满分12分）

已知点A（0，－2）、B（0，4），动点P满足。

（I）求动点P的轨迹方程；

（II）设（I）中所求轨迹与直线交于C、D两点，且OC⊥OD（O为原点），求b的值。

19. （本小题满分12分）

参赛号码为1~5号的五名运动员参加射击比赛。

（I）通过抽签将他们安排到1~5号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号相同的概率；

（II）记1号，2号运动员，射击的环数为。（所有取值为0，1，2，……，10），根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P1	0	0	0	0	0.05	0.05	0.05	0.2	0.3	0.32	0.03
P2	0	0	0	0	0.04	0.05	0.06	0.2	0.32	0.32	0.01

①若1，2号运动员射击一次，求两人中至少一人命中8环的概率；

②试判断，1号、2号运动员谁的射击水平较高？并说明理由。

20. （本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，，，M、N分别为，的中点，S为线段MN的中点。

（I）求DS与平面ABCD所成角的正切值；

（II）求直线DS与直线AC₁所成的角；

（附加题）若点P为平面DMN上的一动点，PD＝d，当点P到平面BCC₁B₁的距离等于d时，d与点P到直线MN的距离之比是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。[注意：附加题供同学们选作，作对另给5分。]

21. （本小题满分12分）

（I）求不等式的解集M；

（II）欲使函数在（I）所得集合M上单调递减，求a的最小值。

22. （本小题满分14分）

已知函数满足：，定义数列，。

（I）证明数列为等比数列；

（II）假设。

①试用T₃、S₃表示Q₃；

②Q_n能否写成含S_n，T_n的表达式，若能，求出这一表达式；若不能，请说明理由。

【试题答案】

2006年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

BACDC DCDAB AC

二、填空题

13.

14. 2

15. 米

16. ①④

三、解答题

17. （I）∵，

∴ ①

，

∴

∵

∴

∵

∴ ② 4分

①＋②得 6分

（II）①－②得

8分

又AC＝2，AB＝3，

∴ 11分

∴BC＝ 12分

[注：如学生写成不扣分。]

18. 解：（I）由题意可得：

化简得 4分

（II）将代入中，得

整理得

可知，

∵

∴

8分

∵OC⊥OD

∴

即

∴（舍去）

即b＝2 12分

19. 解：（I）从五名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有种方法，另4名运动员的靶位号与参赛号均不同的方法有9种。 2分

则恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为 。 4分

（II）①由表可知，两人各射击一次，都未击中8环的概率为

∴至少一人命中8环的概率为

8分

②1号的射击水平较高

∴，

因此，1号运动员的射击水平较高 12分

20. 解：（I）过S作SH⊥BC于H，连DH

∵面BC₁⊥面ABCD

∴SH⊥面ABCD

∴∠SDH为SD和面ABCD所的角 3分

在正方形BB₁C₁C中，M、N分别为BB₁、B₁C₁中点，S为MN中点，

B₁C₁＝4

∴SH＝3＝CH

在Rt△SHD中， 5分

（II）延长至E，使

连DE、ES

∵，∴四边形AC₁ED为平行四边形，

∴AC₁∥DE

∴∠EDS为异面直线DS与AC₁所成的角 8分

在△DSE中，，

则

∴∠SDE。

即直线DS与直线AC₁所成的角为。 12分

［附加题］

连PD，过P作PF⊥面BCC₁B₁，垂足为F。

过F作FG⊥MN于G，连结PG。

由三垂线定理得PG⊥MN，d＝PD

设

在Rt△PFG中

∵PG⊥MN，PG⊥MN

∴∠PGF为二面角D—MN—C的平面角

设为

又∵DC⊥MN，B₁C⊥MN，∴MN⊥平面DSC

∴∠DSC为，在Rt△DCS中， 3分

∵

∴

故是一个定值。 5分

方法二：（I）以D为原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

则D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，，0），B（4，，0），B₁（4，，4），C₁（0，，4），D₁（0，0，4），M（4，，2），N（2，，4），S（3，，3） 2分

（1），

∵DD₁⊥面ABCD

∴为面ABCD一个法向量，

∴DS与面ABCD所成的角为。

正切值为： 5分

（II）∵

直线DS与AC₁所成的角为 12分

21. 解：（I）由 2分

1°当时，；

2°当时，； 5分

∴当时，；

时，。 6分

（II） 7分

由

得 9分

∴当时，在M上不单调

当时，须 11分

此时，只能才有解，

故a的最小值为。 12分

22. 解：（I）∵

∴ 2分

∴，又

∴ 3分

∴数列{a_n}为首项为b，公比为a，各项为正的等比数列 4分

（II）略