河北省张家口市第一中学2005-2006学年度第二学期第一次模拟考试
高三年级数学试卷（理科）
第I卷（选择题 共60分）
一.
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合
，集合
，若
，则a可以取的一个值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 函数
（0<a<1）的定义域为
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 若
，则使
成立的一个充分不必要条件是
A. 
B. 
且
C. 
D. 
4. 某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人。现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取26名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是
A. 高一学生被抽到的概率最大
B. 高三学生被抽到的概率最大
C. 高三学生被抽到的概率最小
D. 每名学生被抽到的概率相等
5. 直线
与直线
互相垂直，
，则|ab|的最小值是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
6. 已知
，则
A. 
B. 
C. 1 D. 0
7. 设三棱柱ABC�A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B�APQC的体积为
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 函数
在区间
上的最小值为
，则
的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 若
是等差数列，首项
，则使前n项和
成立的最大自然数n是
A. 48 B. 47 C. 46 D. 45
10. 给出下列命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
②若直线l⊥平面α，l//平面β，则α⊥β
③P为空间一点，a，b为两异面直线，则过P可作一个平面与a，b均平行
④直线a，b异面不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直
其中正确的命题是
A. ②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④
11. 已知向量
，
，若
的夹角为60°，则直线
与圆
的位置关系是
A. 相交但不过圆心 B. 相交且过圆心
C. 相切 D. 相离
12. 已知二面角
的平面角为θ，P为二面角内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，且PA＝4，PB＝5。设A、B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点M（x，y）的轨迹是下列图形中的
A B C D
第II卷（非选择题 共90分）
二.
填空题（共4小题，每小题4分，共16分。）
13. 若
的展开式中的各项系数之和为-32，那么展开式的常数项为__________。
14. 棱长为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为_____________。
15. 设函数
是定义在R上的以3为周期的奇函数，若
，则a的取值范围是____________。
16. 已知点F1、F2分别是椭圆
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是__________。
三.
解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知函数
（1）当a＝1时，求函数的单调递增区间。
（2）当
时，函数的值域是［3，4］，求a+b的值。
18. （本小题满分12分）
一球赛先分A、B两个组，每组各有5个球队，第一轮赛后每组的前两名将进入半决赛。为提高上座率，举行有奖竞猜系列活动（入场券背面设计成选票）。首场要求观众从两组中各猜2个能进入半决赛的球队，猜中4个队获一等奖，猜中3个队获二等奖，猜中2个队获三等奖，猜中1个队获四等奖，设某人获奖等级为
（当该人未获奖时，记
）。求的数学期望。
19. （本小题满分12分）
设函数
的图象关于原点对称，且
时取极小值
。
（I）求a，b，c，d的值
（II）求证：当
时，
20. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P�ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A＝90°，且AB//CD，
（I）点F在线段PC上运动，设
，问当
为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论。
（II）在（I）的条件下，若二面角F�CD�B为45°，求二面角B�PC�D的大小。
（III）在（II）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求点A到平面PBC的距离。
21. （本小题满分12分）
已知双曲线
的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F（2，0），点P为双曲线上一点，
（I）求双曲线的方程。
（II）若双曲线上有两个不同点M、N，点E（0，-1），当
且
时，求△MON的面积（O为原点）。
22. （本小题满分14分）
已知数列对任意的
都有前n项
的平均数
（I）求的通项公式
（II）设函数
，是否存在最大的实数，当
时，对于一切非零自然数n，都有
。
（III）已知
，数列
的前n项和为
，求
的值。
【试题答案】
一.
选择题：
DACDB ACDCA CD
二.
填空题：
13. 90 14. 
15. 
16. 
三.
解答题
17. 解：
（3分）
（1）当a＝1时，
∴当
时，是增函数
∴函数的单调增区间为
（6分）
（2）∵
，
，
当a>0时，由已知可得
即
，
当a<0时，由已知得
，即
，
当a＝0时，
值域不可能是［3，4］（12分）
18. 解：的分布为
2分
4分
6分
8分
10分
所以这个人获奖等级的期望
12分
19. 解：（1）由已知得为奇函数，即
又x＝1时，取极小值
6分
（2）
令
，则在（-1，1）上单调递减
又在
处连续，所以在[-1,1]上单调递减
故当时，
，即
（12分）
20. （I）当
时，BF//面PAD，证明：取PD的中点E，则EF//CD，且
∴四边形ABEF是平行四边形
∴BF//AE，又
面PAD
∴BF//面PAD
4分
（II）∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD
∴PD⊥CD，∴∠PDA是二面角F�CD�B的平面角
∴∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形
AE⊥PD，又CD⊥AD，∴AE⊥CD，∴AE⊥面PCD
∴BF⊥面PCD，又
面PBC，∴面PCD⊥面PBC
即二面角B�PC�D的大小为90° 8分
（III）点A到面PBC的距离等于点E到面PBC的距离
∵面PCD⊥面PCB，过E向PC引垂线，垂足为H，则EH⊥面PBC
在
中，
，即点A到平面PBC的距离为
12分
21. 解：（1）由
，得PF⊥A1A2
∴
（不妨设P在x轴上方），又
又
∴双曲线方程为
4分
（2）由
可知直线MN的斜率为
设直线MN：
与
联立整理得：
设
，则
设MN的中点为
，则
由得MN⊥EG，
，
此时
又点O到直线MN的距离为：
12分
22. 解：（1）由题知
两式相减，得
4分
（2）设
，即
故知
是数列
中的最小项，
时，对于一切非零自然数n，都有，即
，即
解之，得
或
∴取
10分
（3）
当t＝1时，
，
当t>1时，
当0<t<1时，
综上得，
14分