河南省河南大学附中2006年高中毕业班第一次质量预测试卷
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在1次实验中发生的概率是P，那么n次独立重复实验中恰好发生k次的概率
球的体积公式
其中R表示球的半径
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 含有三个实数的集合可表示为
，也可表示为
，则
的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1
2. 
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 设指数函数
，则下列等式不正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 给出两个命题：
的充要条件是x为正实数；q:存在反函数的函数一定是单调函数，则下列复合命题是真命题的为（
）
A. p且q B. p或q C. 
D. 
5. 若直线
有两个不同交点，则实数m的取值范围是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B－AC－D的余弦值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有（ ）
A. 15种 B. 21种 C. 30种 D. 36种
8. 函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数
的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)图象的顶点在（
）
A. 第I象限 B. 第II象限 C. 第III象限 D. 第IV象限
9. 已知平面上直线l的方向向量
，点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是O1和A1，若
，则λ=（ ）
A. 
B. 
C. 
D. －2
10. sin1，cos1，tan1的大小关系是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 双曲线
的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为（
）
A. 
B. 
C. 2 D. 
12. 一张三角形纸片内有99个点，若连同原三角形的顶点共102个点中无三点共线，以这些点为三角形的顶点，把这张三角形纸片剪成小三角形，这样的小三角形共有（
）个
A. 300 B. 156849 C. 201 D. 199
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上）
13. 已知x,y满足条件
，则
的最大值为______________。
14. 设数列
是以－20为首项，并且以为公比的无穷等比数列，则
＋an）=_______________。
15. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，经过这3个点的小圆的周长为4π，则这个球的半径为_______________。
16. 对任意的函数f(x)，g(x)，在公共定义域内，规定
，则
的最大值为___________。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知函数
。
（I）求函数f(x)的最小正周期；
（II）若函数f(x)在
上的最大值与最小值之和为，求实数a的值。
18. （本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加某项考试，合格的概率分别为
。
（I）求三人中至少有两人合格的概率；
（II）设三人中合格的人数为
的数学期望。
19. （本小题满分12分）
如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。
（I）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（II）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（III）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由。
20. （本小题满分12分）
已知等差数列的首项
，且公差d>0，其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列
的第二项、第三项、第四项。
（I）求数列
的通项公式；
（II）设数列
成立，求
的值。
21. （本小题满分12分）
设x、y∈R，在直角坐标平面内，a=（x，y+2），b=(x，y－2)，且|a|＋|b|=8。
（I）求点M（x,y）的轨迹C的方程；
（II）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求直线l的方程。
22. （本小题满分12分）
已知函数
。
（I）若a=1，函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（II）若函数
在[0，2]上是增函数，x=2是方程f(x)=0的一个根，求证：f(1)≤－2；
（III）若函数f(x)图象上任意不同两点的连线的斜率小于1，求实数a的取值范围。
2006年高中毕业班第一次质量预测试卷
数学（理工类）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. A
7. B 8. A 9. D 10. A 11. C 12. D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 3 14. －40 15. 
16. 0
三、解答题
17. 解：（I）∵
……………………4分
∴函数f(x)的最小正周期T=2π ……………………6分
（II）∵
∴当
……9分
当
……………………11分
由题意，有
∴
……………………………………12分
18. 解：（I）设甲、乙、丙三人参加此项考试合格分别为事件A、B、C。那么三人中至少有两人合格的概率
（II）
的可能取值分别为3、2、1、0 ………………………8分
……………………12分
19. 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）。
∴
（I）
……………………………………5分
（II）∵
∴所求角的余弦值为
…………………………………………9分
（III）假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG=x
则G（1，x，0），作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAG，即DQ=1
∵
∴
故存在点G，当BG=时，使点D到平面PAG的距离为1。
………………12分
20. 解：（I）由题意得：
解得：d=2，所以
……………………4分
易得
……………………6分
（II）由题意得：
所以
………………………………10分
所以由错项相消法得
…………12分
21. 解：（I）由题意得：
…………2分
即点M（x，y）到两定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为定值且
所以点M（x，y）的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆
a=4，c=2，所以
。
所求椭圆方程为：
…………………………6分
（II）过点（0，3）作直线l，当l与x轴垂直时，AB过坐标原点，这与以AB为直径的圆过坐标原点矛盾。
∴l的斜率存在
设l：
由
………………8分
恒成立
且
………………………………10分
由条件AB为直径，则OA⊥OB，即
即
∴
解得：
∴l：
……………………………………12分
22. 解：（I）解法1：若a=1，令
，即点（－1，2＋b）在函数图象上且在直线y=b的上方，所以f(x)的图象不能总在直线y=b的下方。
……………………………………6分
解法2：若a=1，则
令
而
所以点（
）在函数图象上且在直线y=b的上方
所以f(x)的图象不能总在直线y=b的下方 ………………………………4分
（II）由x=2是方程f(x)=0的一个根，得
即
………………………………6分
又
令
又函数f(x)在[0，2]上是增函数
…………………………8分
又x=2是方程f(x)=0的一个根
∴，即
……………………10分
（III）解法1：设曲线上任意两点，则
由题意得
∵
解法2：对
，过曲线上任意不同两点的直线均存在一条曲线的切线与之平行，所以要过曲线上任意两点的直线的斜率小于1，只要
…………12分
即
……………………14分