2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（文史类）

YCY

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试题卷上.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合R|，等于 （ ）

A. P B. Q C. {1，2} D. {0，1，2}

2. 不等式的解集是 （ ）

A. B.

C. D.

3. 已知等差数列中，的值是 （ ）

A. 15 B. 30 C. 31 D. 64

4. 函数在下列哪个区间上是减函数 （ ）

A. B. C. D.

5. 下列结论正确的是 （ ）

A. 当 B.

C. 的最小值为2 D. 当无最大值

6. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）

A. B.

C. D.

7. 已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：

①若m//，n//，则m//n；

②若m//，n⊥，则n⊥m；

③若m⊥，m//，则⊥.

其中真命题的个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 已知的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）

A. B. C. D. 5

10. 从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）

A. 300种 B. 240种 C. 144种 D. 96种

11. 如图，长方体ABCD�A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成的角是 （ ）

A. B.

C. D.

12. 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间

（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

　

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置.

13. （展开式中的常数项是 （用数字作答）.

14. 在△ABC中，∠A=90°，的值是 .

15. 非负实数x、y满足的最大值为 .

16. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.

若函数的图象与的图象关于 对称，则函数=

.

（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）

三. 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

18. （本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.

19. （本小题满分12分）

已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由.

20. （本小题满分12分）

已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

21. （本小题满分12分）

如图，直二面角D�AB�E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B�AC�E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

22. （本小题满分14分）

已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot

∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

【试题答案】

一. 选择题：本大题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1. D 2. A 3. A 4. C 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 10. B 11. D 12. B

二. 填空题：本大题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.

13. 240 14. 15. 9 16. 如：①x轴， ②y轴，

③原点， ④直线

三. 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.

解法一：（Ⅰ）由

整理得

又

故

（Ⅱ）

解法二：（Ⅰ）联立方程

由①得将其代入②，整理得

故

（Ⅱ）

18. 本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.

解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则

∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为

（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为

19. 本小题主要考查等差数列，等比数列及不等式的基本知识，考查利用分类讨论思想分析问题和解决问题的能力. 满分12分.

（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若

当 故

若

当

故对于

20. 本小题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 满分12分.

解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得 当

当

故内是增函数，在内是减函数，

在内是增函数.

21. 本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）平面ACE.

∴二面角D�AB�E为直二面角，且， 平面ABE.

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，

平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B�AC�E的平面角.

由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，, 又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角

，

∴二面角B�AC�E等于

（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D�AB�E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O�xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，

则

解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B�AC�E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

22. 本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.

（I）解法一：直线， ①

过原点垂直的直线方程为， ②

解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

解法二：直线.

设原点关于直线的对称点为（p，q），则解得p=3.

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

（II）解法一：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

点O到直线MN的距离

即

即

整理得

当直线m垂直x轴时，也满足.

故直线m的方程为

或或

经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为

或或

解法二：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，

∴|MN|=|ME|+|NE|

=

以下与解法一相同.

解法三：设M（），N（）.

设直线，代入③，整理得

即

∴=，整理得

解得或

故直线m的方程为或或

经检验上述直线均满足

所以所求直线方程为或或