2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学试题卷（理工农医类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟。

第I部分（选择题 共60分）

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=

，则P+Q中元素的个数是 （ ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

2. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a²>b²”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件。其中真命题的个数是 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. （ ）

A. B. C. D.

4. 函数的图象大致是 （ ）

5. 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为 （ ）

A. B. C. D.

6. 在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 若 （ ）

A. B. C. D.

8. 若，则常数的值为 （ ）

A. B. C. D.

9. 若的大小关系 （ ）

A. B. C. D. 与x的取值有关

10. 如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为 （ ）

A. K B. H C. G D. B′

11. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）

A. ②、③都不能为系统抽样 B. ②、④都不能为分层抽样

C. ①、④都可能为系统抽样 D. ①、③都可能为分层抽样

12. 以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为 （ ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上.

13. 已知向量不超过5，则k的取值范围是 。

14. 的展开式中整理后的常数项为 。

15. 设等比数列的公比为q，前n项和为S_n，若S_n+1,S_n，S_n+2成等差数列，则q的值为 。

16. 某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元。

三. 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围。

18. （本小题满分12分）

在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值。

19. （本小题满分12分）

某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。

20. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，

BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。

21. （本小题满分12分）

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。

（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）

22. （本小题满分14分）

已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学试题卷（理工农医类）参考答案

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1. B 2. B 3. C 4. D 5. A 6. B 7. C 8. C 9. D 10. C 11. D 12. A

二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.

13. [－6，2] 14. 15. －2 16. 500

三. 解答题

17. 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。

解法1：依定义

开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立

.

解法2：依定义

的图象是开口向下的抛物线，

18. 本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.

解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=

在△BDE中利用余弦定理可得：

BD²=BE²+ED²－2BE·EDcosBED，

解法2：

以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.

解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，

过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=

19. 本小题主要考查随机变量的分布列和数学期望的概念和运算，以及运用概率统计的知识解决实际问题的能力.

解：的取值分别为1，2，3，4.

，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（）=0.6.

，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	0.6	0.28	0.096	0.024

∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

李明在一年内领到驾照的概率为

1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)=0.9976.

20. 本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、

B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、E（0，，1），

从而

设的夹角为θ，则

∴AC与PB所成角的余弦值为.

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则

，由NE⊥面PAC可得，

∴

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.

解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角。

在△AOE中，AO=1，OE=

∴

即AC与PB所成角的余弦值为.

（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.

连PF，则在Rt△ADF中

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.

∴N点到AB的距离，N点到AP的距离

21. 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.

（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，

整理得 ①

设是方程①的两个不同的根，

∴ ②

且由N（1，3）是线段AB的中点，得

解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.

于是，直线AB的方程为

解法2：设则有

依题意，

∵N（1，3）是AB的中点，

∴

又由N（1，3）在椭圆内，∴

∴的取值范围是（12，+∞）.

直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，

代入椭圆方程，整理得

又设CD的中点为是方程③的两根，

∴

于是由弦长公式可得 ④

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤

同理可得 ⑥

∵当时，

假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心。

点M到直线AB的距离为 ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|²=|CN|·|DN|，

即 ⑧

由⑥式知，⑧式左边

由④和⑦知，⑧式右边

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.

解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得

③

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得

⑤

解③和⑤式可得

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）

22. 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

（Ⅰ）证法1：∵当

即

于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式

（i）当n=3时， 由

知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得

（Ⅱ）有极限，且

（Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有