2005年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）

第一部分 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合，则M∩N＝（ ）

A. {3} B. {0} C. {0，2} D. {0，3}

2. 若，其中，i是虚数单位，则＝（ ）

A. 0 B. 2 C. D. 5

3. ＝（ ）

A. B. 0 C. D.

4. 已知高为3的直棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B′－ABC的体积为（ ）

A. B. C. D.

5. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m＝（ ）

A. B. C. D.

6. 函数是减函数的区间为（ ）

A. B. C. D.（0，2）

7. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

①若；

②若m、l是异面直线，；

③若；

④若

其中为假命题的是（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）

A. B. C. D.

9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称。现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ ）

A. B.

C. D.

10. 已知数列（ ）

A. B. 3 C. 4 D. 5

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11. 函数的定义域是 。

12. 已知向量则x＝ 。

13. 已知的展开式中的系数与的展开式中x³的系数相等，则＝ 。

14. 设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用表示这n条直线交点的个数，则＝ ；当n>4时，＝ 。（用n表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分12分）

化简（，），并求函数的值域和最小正周期。

16.（本小题满分14分）

如图3所示，在四面体P－ABC中，已知PA＝BC＝6，PC＝AB＝10，AC＝8，PB＝。F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB。

（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

（Ⅱ）求二面角B－CE－F的大小。

图3

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）。

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

图4

18.（本小题满分12分）

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t。现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数。

（Ⅰ）求ξ的分布列；

（Ⅱ）求ξ的数学期望。

19.（本小题满分14分）

设函数，且在闭区间[0，7]上，只有

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

20.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上。

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；

（Ⅱ）求折痕的长的最大值。

　

【试题答案】

一、选择题

1. B 2. D 3. A 4. D 5. B

6. D 7. C 8. C 9. A 10. B

二、填空题

11. {x|x<0} 12.4

13. 14. 5，

三、解答题

15. 解：

函数f(x)的值域为

函数f(x)的周期

16. （I）证明：∵

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。

故PA⊥平面ABC

又∵

而

故CF⊥PB，又已知EF⊥PB

∴PB⊥平面CEF

（II）由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF₁垂直AB交AB于F₁，则FF₁⊥平面ABC，

EF₁是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC

故∠FEB是二面角B－CE－F的平面角。

二面角B－CE－F的大小为

17. 解：（I）设△AOB的重心为G(x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

…（1）

∵OA⊥OB ∴，即，……（2）

又点A，B在抛物线上，有

代入（2）化简得：

∴

所以重心为G的轨迹方程为

（II）

由（I）得：

当且仅当即时，等号成立。

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值为1。

18. 解：（I）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n

ξ的分布列为

ξ	0	1	2	…	n-1	n
p				…

（II）的数学希望为

（1）

（2）

（1）－（2）得：

19. （I）解：由f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为

从而知函数不是奇函数

由

，从而知函数的周期为

又，故函数是非奇非偶函数;

（II）由

（II）又

故f(x)在[0，10]和[-10，0]上均有两个解，从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[-2005，0]上有400个解，所以函数在[-2005，2005]上有802个解

20. 解：（I）（1）当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程

（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a，1)

所以A与G关于折痕所在的直线对称，有

故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为

折痕所在的直线方程，即

由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：

k＝0时，；时

（II）（1）当时，折痕的长为2

（2）当时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

令解得

∴

所以折痕的长度的最大值2